债券久期的概念和应用（转）
上一篇 / 下一篇 2008-04-20 21:48:54 / 个人分类：学习
债券久期的概念和应用金库理财博客 u\wMklbi8A
阿 力
P(r]c LE `0 摘要
9X V J\3E#@0 本文在分析债券价格的基础上，分析了不同债券久期的概念和内在含义，指出了债券久期在债券投资分析中的重要作用。久期是分析利率对债券价格影响程度的重要工具之一。
+K Eg4f W%K0 关键词 债券价格 久期 投资金库理财博客Ui hE n
Abstract金库理财博客1hx~.LDl9P5W
In order to introduce the duration of bond, the present value of bond was computed in this paper. And then explain the development and application of the bond duration model. Duration is one of important tools to direct the bond investment.金库理财博客C+Nplk u$rA
Key words: duration bond investment 金库理财博客 vw"I@(|3xg v
A Fm)n#^ m0 1、 债券价格与久期的导入金库理财博客+m#_p/Il n.X&?
债券(bond)是发行人根据债券发行时规定的规则向债券持有人支付货币的一种义务。一般来说，一张债券支付一笔具体的数额，即它的面值(face value),或者是它在到期日的平价(par value)。
]2a}2f.ULx"D4g7E0 债券的票面因素包括以下几个：①债券的票面价值即面值，是债券票面表明的货币价值，是债券发行人承诺在债券到期日偿还给债券持有人的金额。②债券的到期 期限，是指债券从发行之日起到偿清本息之日止的时间，也是债券发行人承诺履行合同义务的全部时间。③债券的票面利率，亦即票息率，是债券年利息和票面价值 得比率。实际中债券利率有多种形式，比如单利、复利、贴现利率等。④债券的发行者名称。这是为了明确债券的债务体，也是为债权人到期时追索本息提供依据。
uW ^ }2~)BKP:KV0 债券的前三个票面因素再加上实际收益率，就提供了确定债券价格的基本要素。以一个票息率固定，期间定期支付票息，最后票息和本金一起支付的固定收益债券 为例，来分析它的现金流。定义c为票息率，F为票面价值，到期前有Ct＝Fc，到期时则有CT =cF+F，当收益率为y时，该债券的现值可以表达为下式：
2|pk?k:ZF0
x f l7m4nHt X1[0 其中：
*z)e4uL7J4?a'~0 — 第t个时期的现金流金库理财博客$QZ2d:k+I G"b
— 最后到期时的时期数
P O@;o1MK}-|4E.v!o0 — 每次支付的时期数金库理财博客 Yx;_8e4uz`
— 收益率
CJ l#W N)l J0 当债券的发行价格等于P时称为平价发行，大于P时称为溢价发行，低于P时称为折价发行。金库理财博客i nV6[E)d4?'k4[
当债券的票面值和票息率确定以后，在不考虑信用风险、税收风险和汇率风险等风险因素的情况下，债券的价格就和收益率 密切相关。我们令 ，把 按照taylor展开式展开可表达为下面的形式：
^3IV2k.c ])T g B0
_.orD ymjO0 其中， 和 分别为 关于 的一阶和二阶导数。这个表达式为计算债券价格随收益率的波动情况的变化提供了很好的方法。如果只是做最基本的估计，就可以只考虑前两项，而把第三项忽略不 计。这样， 关于y的一阶导数就非常重要了，而这个一阶导数即为F.R.Macaulay在1938年提出的概念：久期(duration)。金库理财博客x e|/G#??x
的表达式可以表达为：
?@4n"b3P0
'g dT.p{W0 其中定义久期为：金库理财博客6u j6e_;N.I-k ^
金库理财博客Y nf{l?-I A%L2CC
这个D也称为“Macaulay久期”，它一方面代表着债券的实际到期时间，另一方面又是债券价格对于利率变动的灵敏性度量。
yS N'X|bFKcy7Y0 2 、久期模型的发展
m PJ(g b_M0uz;|0 1) 修正久期
o A LOY2t0 从上面的讨论中可知：对于给定的到期收益率的微小变动，债券价格的相对变动与其 Macaulay 久期成比例。当然，这种比例关系只是一种近似的比例关系，它的成立是以债券的到期收益率很小为前提的。为了更精确地描述债券价格对于到期收益率变动的灵敏 性，又引入了修正久期模型（Modified Duration Model）。修正久期 被定义为：金库理财博客 S _dP$x
金库理财博客N l"@ }N
从这个式子可以看出，对于给定的到期收益率的微小变动，债券价格的相对变动与修正久期之间存在着严格的比例关系。所以说修正久期是在考虑了收益率项 y 的基础上对 Macaulay 久期进行的修正，是债券价格对于利率变动灵敏性的更加精确的度量。金库理财博客P l"^q @{ M d`
2) 有效久期金库理财博客3u2aD V RNA
在Macaulay久期模型研究中存在一个重要假设，即随着利率的波动，债券的现金流不会发生变化。然而这一假设对于具有隐含期权的金融工具，如按揭贷 款、可赎回(或可卖出)债券等而言则很难成立。因此，Macaulay久期模型不应被用来衡量现金流易受到利率变动影响的金融工具的利率风险。针对 Macaulay久期模型这一局限，Frank Fabozzi提出了有效久期的思想。所谓有效久期是指在利率水平发生特定变化的情况下债券价格变动的百分比。它直接运用不同收益率变动为基础的债券价格 进行计算，这些价格反映了隐含期权价值的变动。其计算公式为：
u@!B#Y+Qi0 金库理财博客+U3jc @ Y-C
其中：
e| u]L.AmH s0 利率下降x个基点时债券价格；
;B @Shh} k0 利率上升x个基点时债券价格；金库理财博客 tS:ehw)is'Q ^DA.b;B
初始收益率加上x个基点；
8N E.o ge0ad n0 初始收益率减去x个基点；金库理财博客h^Ap%y4gx`
债券初始价格；金库理财博客;Y;x M QKp vh9ta2u-B
有效久期不需要考虑各期现金流的变化情况，不包含利率变化导致现金流发生变化的具体时间，而只考虑利率一定变化下的价格总体情况。因此，有效久期能够较 准确地衡量具有隐含期权性质的金融工具的利率风险。对于没有隐含期权的金融工具，有效久期与Macaulay久期是相等的。金库理财博客 M YC!@%m
随着对久期模型研究的不断深入，相继有人提出了方向久期、偏久期、关键利率久期、近似久期以及风险调整久期等新的久期模型，把利率的期限结构、票息率的改变以及信用风险、赎回条款等加入到模型里面，使久期模型得到了进一步的发展金库理财博客1U ~.F f _UC S8_9~
3) 债券组合久期金库理财博客'T&O.do0~ E/j
债券投资组合也有相应的久期概念，其久期为单个久期的加权平均，可以用下面的公式进行计算：金库理财博客/~'TQIfy5]Z:_
金库理财博客a i]4\q#J
其中 为单个债券 在组合中的权重。
#k:Ax;Rt:jIp0 3. 久期在债券投资中的应用金库理财博客 GBw$z2Imh(TF ]
1) 利用久期控制利率风险。
vl w(}*cR0 在债券投资里，久期可以被用来衡量债券或者债券组合的利率风险，一般来说，久期和债券的到期收益率成反比，和债券的剩余年限及票面利率成正比。对于一个 普通的附息债券，如果债券的票面利率和其当前的收益率相当的话，该债券的久期就等于其剩余年限当一个债券是贴现发行的无票面利率债券，那么该债券的剩余年 限就是其久期。债券的久期越大，利率的变化对该债券价格的影响也越大，因此风险也越大。在降息时，久期大的债券上升幅度较大；在升息时，久期大的债券下跌 的幅度也较大。因此，预期未来升息时，可选择久期小的债券。在债券分析中久期已经超越了时间的概念，投资者更多地把它用来衡量债券价格变动对利率变化的敏 感度，并且经过一定的修正，以使其能精确地量化利率变动给债券价格造成的影响。修正久期越大，债券价格对收益率的变动就越敏感，收益率上升所引起的债券价 格下降幅度就越大，而收益率下降所引起的债券价格上升幅度也越大。金库理财博客 ?u-RB.mzj J4x
债券对利率变动的反应特征如下：债券价格与利率变化反向变动；在给定利率变 化水平下，长期债券价格变动较大，因此债券价格变化直接与期限有关；随着到期时间的增加，债券对于利率变化的敏感度是以一个递减的速度增长；由相同幅度的 到期收益率的绝对变化带来的价格变化是非对称的，具体来说，在期限给定条件下，到期收益率降低引起的价格上升，大于到期收益率上升引相同幅度起的价格下 降；票息高的债券比那些票息低的债券对利率的敏感性要低。
9] v;Fg2W_S"f0 2) 利用久期进行免疫
8?f t!Tzgq&{0 所谓免疫，就是构建这样的一个投资组合，在组合 内部，利率变化对债券价格的影响可以互相抵消，因此组合在整体上对利率不具有敏感性。而构建这样组合的基本方法就是通过久期的匹配，使附息债券可以精确地 近似于一只零息债券。利用久期进行免疫是一种消极的投资策略，组合管理者并不是通过利率预测去追求超额报酬，而只是通过组合的构建，在回避利率波动风险的 条件下实现既定的收益率目标。在组合品种的设计中，除了国债可以选入组合外，部分收益率较高的企业债券及金融债券也能加入投资组合，条件是控制好匹配的久 期。
wOu;z"a0 但是，免疫策略本身带有一定的假设条件，比如收益率曲线的变动不是很大，到期收益率的高低与市场利率的变化之间有一个平衡点，一旦收益率 确实发生了很大的变动，则投资组合不再具有免疫作用，需要进行再免疫，或是再平衡；其次，免疫严格限定了到期支付日，对于那些支付或终止期不能确定的投资 项目而言并不是最优；再次，投资组合的免疫作用仅对于即期利率的平行移动有效，对于其他变动，需要进一步拓展应用。 金库理财博客p}~m B z5W rn
3) 利用久期优化投资组合金库理财博客'{gF"[O7T
进行免疫后的投资组合，虽然降低了利率波动的风险，但是组合的收益率却会偏低。为了实现在免疫的同时也能增加投资的收益率，可以使用回购放大的办法，来 改变某一个债券的久期，然后修改免疫方程式，找到新的免疫组合比例，这样就可以提高组合的收益率。但是，在回购放大操作的同时，投资风险也在同步放大，因 此要严格控制放大操作的比例。金库理财博客 YZKBR+[6B
4. 结束语金库理财博客"a6x8E"O%N~C
本文在债券价格基础上，进行了久期的公式推导，分析了久期在债券投资中的重要作用。但 是久期只是债券价格关于收益率的一阶导数，单独使用久期近似估计债券价格随收益率的波动情况，不是十分准确。因此价格关于收益率的二阶导数，即凸性 （convexity），在债券投资中也是十分重要的工具，它经常和久期配合使用，提高预测的精度。近些年来，久期模型逐渐考虑了信用风险、利率风险、税 收风险等各种风险因素，使久期模型得到了更大的发展。但是如何把这些最新的模型应用于债券投资的实践，还需要做很多的工作。
阿 力
P(r]c LE `0 摘要
9X V J\3E#@0 本文在分析债券价格的基础上，分析了不同债券久期的概念和内在含义，指出了债券久期在债券投资分析中的重要作用。久期是分析利率对债券价格影响程度的重要工具之一。
+K Eg4f W%K0 关键词 债券价格 久期 投资金库理财博客Ui hE n
Abstract金库理财博客1hx~.LDl9P5W
In order to introduce the duration of bond, the present value of bond was computed in this paper. And then explain the development and application of the bond duration model. Duration is one of important tools to direct the bond investment.金库理财博客C+Nplk u$rA
Key words: duration bond investment 金库理财博客 vw"I@(|3xg v
A Fm)n#^ m0 1、 债券价格与久期的导入金库理财博客+m#_p/Il n.X&?
债券(bond)是发行人根据债券发行时规定的规则向债券持有人支付货币的一种义务。一般来说，一张债券支付一笔具体的数额，即它的面值(face value),或者是它在到期日的平价(par value)。
]2a}2f.ULx"D4g7E0 债券的票面因素包括以下几个：①债券的票面价值即面值，是债券票面表明的货币价值，是债券发行人承诺在债券到期日偿还给债券持有人的金额。②债券的到期 期限，是指债券从发行之日起到偿清本息之日止的时间，也是债券发行人承诺履行合同义务的全部时间。③债券的票面利率，亦即票息率，是债券年利息和票面价值 得比率。实际中债券利率有多种形式，比如单利、复利、贴现利率等。④债券的发行者名称。这是为了明确债券的债务体，也是为债权人到期时追索本息提供依据。
uW ^ }2~)BKP:KV0 债券的前三个票面因素再加上实际收益率，就提供了确定债券价格的基本要素。以一个票息率固定，期间定期支付票息，最后票息和本金一起支付的固定收益债券 为例，来分析它的现金流。定义c为票息率，F为票面价值，到期前有Ct＝Fc，到期时则有CT =cF+F，当收益率为y时，该债券的现值可以表达为下式：
2|pk?k:ZF0
x f l7m4nHt X1[0 其中：
*z)e4uL7J4?a'~0 — 第t个时期的现金流金库理财博客$QZ2d:k+I G"b
— 最后到期时的时期数
P O@;o1MK}-|4E.v!o0 — 每次支付的时期数金库理财博客 Yx;_8e4uz`
— 收益率
CJ l#W N)l J0 当债券的发行价格等于P时称为平价发行，大于P时称为溢价发行，低于P时称为折价发行。金库理财博客i nV6[E)d4?'k4[
当债券的票面值和票息率确定以后，在不考虑信用风险、税收风险和汇率风险等风险因素的情况下，债券的价格就和收益率 密切相关。我们令 ，把 按照taylor展开式展开可表达为下面的形式：
^3IV2k.c ])T g B0
_.orD ymjO0 其中， 和 分别为 关于 的一阶和二阶导数。这个表达式为计算债券价格随收益率的波动情况的变化提供了很好的方法。如果只是做最基本的估计，就可以只考虑前两项，而把第三项忽略不 计。这样， 关于y的一阶导数就非常重要了，而这个一阶导数即为F.R.Macaulay在1938年提出的概念：久期(duration)。金库理财博客x e|/G#??x
的表达式可以表达为：
?@4n"b3P0
'g dT.p{W0 其中定义久期为：金库理财博客6u j6e_;N.I-k ^
金库理财博客Y nf{l?-I A%L2CC
这个D也称为“Macaulay久期”，它一方面代表着债券的实际到期时间，另一方面又是债券价格对于利率变动的灵敏性度量。
yS N'X|bFKcy7Y0 2 、久期模型的发展
m PJ(g b_M0uz;|0 1) 修正久期
o A LOY2t0 从上面的讨论中可知：对于给定的到期收益率的微小变动，债券价格的相对变动与其 Macaulay 久期成比例。当然，这种比例关系只是一种近似的比例关系，它的成立是以债券的到期收益率很小为前提的。为了更精确地描述债券价格对于到期收益率变动的灵敏 性，又引入了修正久期模型（Modified Duration Model）。修正久期 被定义为：金库理财博客 S _dP$x
金库理财博客N l"@ }N
从这个式子可以看出，对于给定的到期收益率的微小变动，债券价格的相对变动与修正久期之间存在着严格的比例关系。所以说修正久期是在考虑了收益率项 y 的基础上对 Macaulay 久期进行的修正，是债券价格对于利率变动灵敏性的更加精确的度量。金库理财博客P l"^q @{ M d`
2) 有效久期金库理财博客3u2aD V RNA
在Macaulay久期模型研究中存在一个重要假设，即随着利率的波动，债券的现金流不会发生变化。然而这一假设对于具有隐含期权的金融工具，如按揭贷 款、可赎回(或可卖出)债券等而言则很难成立。因此，Macaulay久期模型不应被用来衡量现金流易受到利率变动影响的金融工具的利率风险。针对 Macaulay久期模型这一局限，Frank Fabozzi提出了有效久期的思想。所谓有效久期是指在利率水平发生特定变化的情况下债券价格变动的百分比。它直接运用不同收益率变动为基础的债券价格 进行计算，这些价格反映了隐含期权价值的变动。其计算公式为：
u@!B#Y+Qi0 金库理财博客+U3jc @ Y-C
其中：
e| u]L.AmH s0 利率下降x个基点时债券价格；
;B @Shh} k0 利率上升x个基点时债券价格；金库理财博客 tS:ehw)is'Q ^DA.b;B
初始收益率加上x个基点；
8N E.o ge0ad n0 初始收益率减去x个基点；金库理财博客h^Ap%y4gx`
债券初始价格；金库理财博客;Y;x M QKp vh9ta2u-B
有效久期不需要考虑各期现金流的变化情况，不包含利率变化导致现金流发生变化的具体时间，而只考虑利率一定变化下的价格总体情况。因此，有效久期能够较 准确地衡量具有隐含期权性质的金融工具的利率风险。对于没有隐含期权的金融工具，有效久期与Macaulay久期是相等的。金库理财博客 M YC!@%m
随着对久期模型研究的不断深入，相继有人提出了方向久期、偏久期、关键利率久期、近似久期以及风险调整久期等新的久期模型，把利率的期限结构、票息率的改变以及信用风险、赎回条款等加入到模型里面，使久期模型得到了进一步的发展金库理财博客1U ~.F f _UC S8_9~
3) 债券组合久期金库理财博客'T&O.do0~ E/j
债券投资组合也有相应的久期概念，其久期为单个久期的加权平均，可以用下面的公式进行计算：金库理财博客/~'TQIfy5]Z:_
金库理财博客a i]4\q#J
其中 为单个债券 在组合中的权重。
#k:Ax;Rt:jIp0 3. 久期在债券投资中的应用金库理财博客 GBw$z2Imh(TF ]
1) 利用久期控制利率风险。
vl w(}*cR0 在债券投资里，久期可以被用来衡量债券或者债券组合的利率风险，一般来说，久期和债券的到期收益率成反比，和债券的剩余年限及票面利率成正比。对于一个 普通的附息债券，如果债券的票面利率和其当前的收益率相当的话，该债券的久期就等于其剩余年限当一个债券是贴现发行的无票面利率债券，那么该债券的剩余年 限就是其久期。债券的久期越大，利率的变化对该债券价格的影响也越大，因此风险也越大。在降息时，久期大的债券上升幅度较大；在升息时，久期大的债券下跌 的幅度也较大。因此，预期未来升息时，可选择久期小的债券。在债券分析中久期已经超越了时间的概念，投资者更多地把它用来衡量债券价格变动对利率变化的敏 感度，并且经过一定的修正，以使其能精确地量化利率变动给债券价格造成的影响。修正久期越大，债券价格对收益率的变动就越敏感，收益率上升所引起的债券价 格下降幅度就越大，而收益率下降所引起的债券价格上升幅度也越大。金库理财博客 ?u-RB.mzj J4x
债券对利率变动的反应特征如下：债券价格与利率变化反向变动；在给定利率变 化水平下，长期债券价格变动较大，因此债券价格变化直接与期限有关；随着到期时间的增加，债券对于利率变化的敏感度是以一个递减的速度增长；由相同幅度的 到期收益率的绝对变化带来的价格变化是非对称的，具体来说，在期限给定条件下，到期收益率降低引起的价格上升，大于到期收益率上升引相同幅度起的价格下 降；票息高的债券比那些票息低的债券对利率的敏感性要低。
9] v;Fg2W_S"f0 2) 利用久期进行免疫
8?f t!Tzgq&{0 所谓免疫，就是构建这样的一个投资组合，在组合 内部，利率变化对债券价格的影响可以互相抵消，因此组合在整体上对利率不具有敏感性。而构建这样组合的基本方法就是通过久期的匹配，使附息债券可以精确地 近似于一只零息债券。利用久期进行免疫是一种消极的投资策略，组合管理者并不是通过利率预测去追求超额报酬，而只是通过组合的构建，在回避利率波动风险的 条件下实现既定的收益率目标。在组合品种的设计中，除了国债可以选入组合外，部分收益率较高的企业债券及金融债券也能加入投资组合，条件是控制好匹配的久 期。
wOu;z"a0 但是，免疫策略本身带有一定的假设条件，比如收益率曲线的变动不是很大，到期收益率的高低与市场利率的变化之间有一个平衡点，一旦收益率 确实发生了很大的变动，则投资组合不再具有免疫作用，需要进行再免疫，或是再平衡；其次，免疫严格限定了到期支付日，对于那些支付或终止期不能确定的投资 项目而言并不是最优；再次，投资组合的免疫作用仅对于即期利率的平行移动有效，对于其他变动，需要进一步拓展应用。 金库理财博客p}~m B z5W rn
3) 利用久期优化投资组合金库理财博客'{gF"[O7T
进行免疫后的投资组合，虽然降低了利率波动的风险，但是组合的收益率却会偏低。为了实现在免疫的同时也能增加投资的收益率，可以使用回购放大的办法，来 改变某一个债券的久期，然后修改免疫方程式，找到新的免疫组合比例，这样就可以提高组合的收益率。但是，在回购放大操作的同时，投资风险也在同步放大，因 此要严格控制放大操作的比例。金库理财博客 YZKBR+[6B
4. 结束语金库理财博客"a6x8E"O%N~C
本文在债券价格基础上，进行了久期的公式推导，分析了久期在债券投资中的重要作用。但 是久期只是债券价格关于收益率的一阶导数，单独使用久期近似估计债券价格随收益率的波动情况，不是十分准确。因此价格关于收益率的二阶导数，即凸性 （convexity），在债券投资中也是十分重要的工具，它经常和久期配合使用，提高预测的精度。近些年来，久期模型逐渐考虑了信用风险、利率风险、税 收风险等各种风险因素，使久期模型得到了更大的发展。但是如何把这些最新的模型应用于债券投资的实践，还需要做很多的工作。
TAG: 债券 bond 概念 duration investment
