久期理论及其在商业银行资产负债风险管理中的应用分析
上一篇 / 下一篇 2008-04-20 21:45:57 / 个人分类：学习
一、久期理论综述 金库理财博客9d VX
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eu4e NG}4a K0 (一)“久期”(Ｄｕｒａｔｉｏｎ)的含义。 金库理财博客"d%U _M'c2w P G
n i |"^6y6S,Td0 商业银行的营运资金主要来源于它的负债业务,流动性高是商业银行负债业务的突出特征,商业银行所面临的风险主要来源于此。因此,“流动性为 先,流动性、安全性和赢利性兼顾”就成为指导商业银行日常经营决策的基本准则。流动性准则要求商业银行的资产业务与负债业务在风险特性上要尽量地匹配。不 难理解,“保持资产与负债之间持有期间的一致性”应该是实现商业银行资产与负债之间风险闭合的最基本手段。金库理财博客`9U%v8c @U6M7m\ U
}4V9qLZ:|3z&~0 一般说来,商业银行资产(或负债)的持有期间即是通常所谓的资产(或负债)的“剩余到期期限”。 金库理财博客G%a w k-J r$Z2]
2g,b o$jv,B'?neV4D0 但是,“剩余到期期限”这一概念还不足以准确刻画商业银行所拥有的资产和负债的风险特性及其闭合程度。在“剩余到期期限”这一含义的基础上, 至少还应该考虑到资产和负债两者之间在利率水平以及利率的发生频率等方面的差异。同样地,不同的资产间(或不同的负债间)风险水平的对比也要同时考虑到 “剩余到期期限”和“利率水平以及利率的发生频率等”几个层次因素的综合效应。由此,金融工程理论引入了所谓的“久期”(或持续期)概念,并以久期的长短 来刻画资产或负债的风险特性。 金库理财博客"?,J%Z$Oj| T$KU
金库理财博客;zUG W$wV3F
假设某商业银行拥有一笔剩余期限为ｎ期的贷款。该笔贷款在每一期末的利息数量分别为Ｒ1, Ｒ2,…,Ｒｎ。则“久期”(Ｄ)的计算公式可以写为:Ｄ=[∑ｔ·Ｒｔ] ∑Ｒｔ。显然,“久期”这一概念的涵义大约相当于资产(或负债)的加权平均剩余持有期限。
+M b ~-}2oF$V(i1z0 金库理财博客.c&dwK(]9Y @;h"y l(o
例如,一种本金为100元、年利率为5%的10年期贷款,其“久期”为8.5年;而其它条件相同,只是年利率为10%的贷款,其“久期”则为7.75年。由于年利率为10%的贷款拥有较短的“久期”,所以它的风险较低。从资产的流动性考虑,这一结论是符合逻辑的。 金库理财博客"Q5]:}3PL u
金库理财博客Uy6u.m@nR4y_,L
从负债的流动性考虑,这一结论也是合乎情理的。商业银行资产与负债的久期应当尽量地保持一致,这句话包含两层意思:首先,资产与负债的到期期限应该尽量地一致;其次,资产和负债每期发生的现金流量也应该尽量地相同。 金库理财博客 v"G.r)n0g M
i4ta t} ` d-{9d^0 不过,上述“久期”的定义并没有充分地考虑资金的时间价值这一层因素对资产负债风险大小的影响。一个前期利息较低、后期利息较高的10年期贷 款与一个前期利息较高、后期利息较低的10年期贷款相比较,它们的风险大小显然是不相同的。为此, Ｍａｃａｕｌａｙ(1938)提出了一个能够充分地考 虑到资金时间价值因素的“久期”(ＭＤ)概念:ＭＤ=[∑ｔ(ＰＶ)ｔＲｔ] ∑(ＰＶ)ｔＲｔ。其中,(ＰＶ)ｔ为该资产或负债第ｔ期现金流量的折现因 子。
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.l6ab&WC'P6b b2r0 如果令Ｐ=∑(ＰＶ)ｔＲｔ;然后将Ｐ关于市场利率(ｒ)的一次导数记为Ｐ′,则有:-Ｐ′ Ｐ=ＭＤ (1+ｒ)。
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S{%_[z&g9P(l5{6c#p0 该式反映了单位市场利率的变化对资产(或负债)价值的影响。一般把Ｄ =ＤＭ (1+ｒ)称为“修正的久期”。不难看出,修正的久期越长,既定市场利率的变动对资产或负债市场价值的影响越大。 金库理财博客#y;|EPd;`
金库理财博客%b a;c UY/[~ y
(二)与“久期”有关的几个重要的结论。
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(1)如果假定折现率(ｒ)为零,则Ｄ=ＭＤ。所以,可以将Ｄ理解为ＭＤ的特例。
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G{ N"@si t ]0 (2)对ＭＤ关于折现率(ｒ)求导,有:ｄ(ＭＤ) ｄｒ=-σ2 (1+ｒ)<0。其中σ为以ＭＤ为期望值,以ＭＤ的权重为分布的ｔ的方差。所以,“久期”ＭＤ为折现率(ｒ)的减函数。随着市场利率的提高,“久期”ＭＤ将趋于下降。
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;k w#xby$|9r;X@U([.I0 (3)由于ＭＤ=-(Ｐ′ Ｐ)(1+ｒ)=-(ｄＰ Ｐ) [ｄ(1+ｒ) (1+ｒ)],所以ＭＤ还可以理解为资产(或负债)的价值变动关于市场利率的弹性。
@+v J7y3j.g H0 金库理财博客N9JN%|*k}:BW C
(4)那些只在到期日才会发生现金流的资产(或负债),例如贴现债券或在到期日一次性付款的存款贷款等,其ＭＤ等于通常的“剩余到期期限”。因此,一般说来,ＭＤ的大小与“剩余到期期限”正相关。
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不过,附息债券的“久期”(ＭＤ)要小于通常的“剩余到期期限”。由于永久债券的“久期”(ＭＤ)等于1+1 ｒ,所以,(1+1 ｒ)为附息债券“久期”(ＭＤ)的最大极限值。
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(5)资产(或负债)的票面利率越高,其相应的“久期”越短。而且,市场利率越高,其相应的“久期”也越短。 金库理财博客6W.J t KT} S
金库理财博客(S2yl$Fy*Li(fu
(6)由于ｄ(Ｐ) Ｐ=-Ｄ ｄ(ｒ),所以有Ｖａｒ(ｄＰ Ｐ)=(Ｄ )Ｖａｒ(ｄｒ)。因此,资产(或负债)价值变化率的波动性是市场利率波动性的Ｄ 倍。 金库理财博客$Oi }t*S"{
yU%e w$u'D w,N0 (7)“久期”具有可加性。如果把银行的资产(或负债)看作一个整体,则银行总资产(或负债)的“久期”等于该银行各项资产(或负债)的“久期”的加权和。其中的权重即该项资产(或负债)占总资产(或负债)价值的比例。
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/Sg,G W {\ U+U4sm0 需要指出的是,上述结论的得出需要一个隐含的假设:市场利率的变动与资产(或负债)的现金流量变动无关。因此上结论只适合于固定利率以及不包含隐性期权的资产(或负债)的“久期”。
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fwoS [ W+C E:n0 二、久期风险管理策略在商业银行资产负债风险管理中的应用 金库理财博客%]G4o;`YK^F%S*_J5Z
"^ XE:NW*`c0 (一)“风险免疫”管理策略。
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由于“资金的来源”恒等于“资金的使用”,所以商业银行的“负债加账面净值的和”必定等于商业银行“资产的账面价值”。如果商业银行来源于资 产的现金流入先于偿还负债的现金支出发生,或者商业银行资产的剩余到期期限短于负债的剩余到期期限,则商业银行便面临再投资利率下降的市场风险;反之,如 果商业银行偿还债务的现金支出先于资产的现金流入发生,或者商业银行资产的剩余到期期限长于负债的剩余到期期限,则该商业银行又面临再融资利率上升的市场 风险。这样一来,商业银行的“资产市值”就不一定恒等于它的“负债市值加账面净值的和”。商业银行股东权益的实际市场价值(较账面价值)便会发生非预期性 的变动,而这也正是商业银行所有风险的最终归结点。
*r'dGD#e.m&A%ou:f+d0 金库理财博客 w%`1B1bl)h:W*lM
如果令Ｒｔ为某商业银行第ｔ期的资产收入现金流量减负债支出现金流量的差额,则仅当每期Ｒｔ的净现值和(Ｐ)≥0的时候,该商业银行的风险才 会完全闭合,我们将商业银行的这种状态称为“风险免疫”状态。而在“风险免疫”状态下,当该商业银行达到均衡的时候,必定有Ｐ=0。 金库理财博客)Q/D)J] d a1So9v+J4z
金库理财博客.TUN0c(`OL$X.f
现在假定市场利率发生了微小的变化,即由ｒ变动到ｒ+μ。然后将Ｐ(ｒ)Ｔａｙｌｏｒ展开有: 金库理财博客[5gW'b xK?Y+W
金库理财博客{5n5p8O HT`
Ｐ(ｒ+μ)=Ｐ(ｒ)+μＰ′+[μ 2]Ｐ″(ｒ+μ) 其中,0<||<1。 金库理财博客#I | T,T W%NRYj
7q:K*o'b a*T zEt0 因此,如果Ｐ′=0,且Ｐ″>0,则在Ｐ(ｒ)处会有一个局部的最小值。在这局部的最小值处,市场利率沿任何方向的微小变化都会改善商业银行的处境。如果在这一局部的最小值处商业银行处于均衡的状态,则必定有Ｐ=0。
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or7_+xv'x0 令Ａ为商业银行总资产的市场价值,Ｌ为该商业银行总负债的市场价值,则Ｐ=Ａ-Ｌ应为该商业银行净资产的市场价值。Ｐ′=-Ａ×Ｄ ａ+ ＬＤ 1。其中,Ｄ ａ为该商业银行总资产的“修正久期”;Ｄ 1为该商业银业总负债的“修正久期”。如果总资产的市场价值等于总负债的市场价值,则在Ｐ ′=0处,总资产的“修正久期”必定等于总负债的“修正久期”。 金库理财博客 h,\^)v)XPw
金库理财博客w,I'y4GW2a
由Ｐ″>0可以引申出(ｄＡ ｄｒ) Ａ>(ｄＬ ｄｒ) Ｌ的形式。上式的左侧项称为资产Ａ的“凸度”;右侧项称为负债Ｌ的 “凸度”。而净资产的“凸度”为(Ｐ″ Ｐ)。资产的凸度大于负债的凸度是商业银行实现风险免疫的条件之一。因此,资产结构的管理应该是商业银行“风险免 疫”策略的核心。 金库理财博客o(l4B] ] `8d|o;C
金库理财博客1p"YtKI5~-z!b
(1)资产所适用的市场利率应该与负债所适用的市场利率相同。 金库理财博客b J:^7~8A B4` i'J uZ
金库理财博客 j:P@vlGb&r%k;m@
(2)确保与资产有关的现金流入量现值和至少等于与负债有关的现金流出现值和。只有这样,由资产所带来的现金流入才有可能完全应付偿还债务的资金需要。
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F2O Nu0R0 (3)资产的“修正久期”应该等于负债的“修正久期”,即资产和负债的现金流加权平均到达的时间要相同。只有这样,资产价值对市场利率的敏感性与负债价值对市场利率的敏感性才会完全相同。
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(4)资产的“凸度”应该大于负债的“凸度”。如果满足了这个条件,则当市场利率上升了的时候,资产价值的变动量会小于负债价值的变动量。而当市场利率下降了的时候,资产价值的变动量会大于负债价值的变动量。
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例如,假定某银行发生了一笔1000万元的存款负债,为此预计一年后会发生1100万元的现金支付。该银行可以有针对性地构建一个资产组合来 闭合这笔负债中所包含的风险。假定有两种资产可供该商业银行选择:一项是某种随时到期的浮动利率资产;另一项为复利率10%、到期一次还本付息的两年期贷 款。再假定市场利率为10%,则可这样构建具有“风险免疫”特征的资产组合: 金库理财博客4j:@2A kw E(BH
金库理财博客 Zsi(yv2ab
令投资于浮动利率资产的金额为Ｘ万元;投资于两年期贷款的金额为Ｙ万元。因此,该资产组合与存款负债之间的净现值为:Ｐ=Ｘ+1.21Ｙ (1+ｒ)2-1100 (1+ｒ)。进而有: 金库理财博客"}b5n Z*O9y
%V*] IwG@$p9^%W9{&F0 Ｘ+Ｙ-1000=0
!hwrx9J6d Y f0 金库理财博客X n"G/v Y:Lz H
Ｐ′=-2Ｙ 1.1+1000 1.1=0 金库理财博客 ^7H%J8X'X$}
[YI r R`i,A+M0 解之可得:Ｘ=500万元;Ｙ=500万元。且可验证该组合的凸度要大于存款负债的凸度。因此,在这两种资产投资500万元的条件下,如果市 场利率保持10%不变,则该商业银行一年以后1100万元负债不能偿还的风险恰好可以避免(Ｐ=0)。而如果市场利率在10%的基础上发生变动,该商业银 行的处境则会更好一些。
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这个例子假定负债的本息按期提取。不过,商业银行的负债大多具有随时支付的条款。如果考虑到这层因素,则会大大增加“风险免疫”管理策略的难度。我们这里考虑一个较为简单的情景:
)MQ e3T*uy.q0 金库理财博客#T"t&s%t y"}
假定某商业银行有一笔利率为8%的两年期存款。根据经验,该储户可能在每年底分别提取一部分款项。
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cDMnb8` ]b_0 假定每元存款在每年末的提出金额分别为Ｘ1和Ｘ2。则有:Ｘ1 (1.08)+Ｘ2 (1.08)2=1。假定该商业银行只能将该笔存款投资 于利率为8%的一年期贷款和利率为8.5%的两年期贷款。令其投资比例分别为Ｙ1和Ｙ2(Ｙ1+Ｙ2=1)。再假定第二年的再投资利率为ｆ。则有: 金库理财博客7[(_ HM x
金库理财博客 AQ0n L2W*X T
[Ｙ1(1.08)-Ｘ1](1+ｆ)+[Ｙ2(1.085)2-Ｘ2] =[(1.08)(1+ｆ)-(1.085)2]Ｙ1+Ｘ1(0.08-ｆ)+(1.085)2-(1.08)2
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为了避免不能偿还债务的风险,上式必须确保大于或等于零。因此,在商业银行能够较为准确地估计出远期利率ｆ和客户的提款率Ｘ1的条件下,便可根据上式计算出恰当的投资组合比例Ｙ1来。 金库理财博客!`K| A U#TG+E
金库理财博客9v2d*z8L:T
显然,“风险免疫”管理策略应该是一种动态的资产负债比例管理方法。因为,且不说市场利率的变化会导致“久期”的变动。即使市场利率保持不 变,随着“到期日”的临近,资产(或负债)的“久期”也会趋于缩短。因此,商业银行需要随时调整资产的构成以保持资产和负债之间“风险免疫”的状态。 金库理财博客 [S3f2j5{$a T LF
金库理财博客1h4r-r]!`'J
(二)“久期缺口”风险管理策略。
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"x f#@ W1J!A-i H YzS0 作为企业,在流动性和安全性的基础上,净资产的保值增值(即收益性)当然也是商业银行经营所追求的一个基本目标。由于资产、负债和净资产之间的线性关系,净资产也同样面临着市场利率变动的风险。 金库理财博客 @q$Li/|3@
金库理财博客V%S5ow t KA r Z
令(ＭＤ)Ａ、(ＭＤ)1和(ＭＤ)ｐ分别为总资产、总负债和净资产的“久期”。根据久期的可加性,有:(ＭＤ)Ａ=Ｗ1(ＭＤ)1+(1-Ｗ1)(ＭＤ)ｐ,其中,Ｗ1=ＬＡ。进而有:(ＭＤ)ｐ=[(ＭＤ)Ａ-Ｗ1(ＭＤ)1] (1-Ｗ)1。 金库理财博客/@9m#P0h'K'}.EO
金库理财博客Y)F(C"B^Gn5Y.s
“久期缺口”[(ＭＤ)ｇａｐ]的定义为:(ＭＤ)ｇａｐ=(ＭＤ)Ａ-Ｗ1(ＭＤ)1,因此有(ＭＤ)ｇａｐ=(1-Ｗ1)(ＭＤ)ｐ,进而有:(ＭＤ)ｐ=[Ａ Ｐ]×(ＭＤ)ｇａｐ。
S S L?8q~)I2g+W-r0
3h I f#SwF C h0 不难得出:ΔＰ Ｐ=-(ＭＤ)ｐ×[Δｒ (1+ｒ)]=-[Ａ Ｐ]×(ＭＤ)ｇａｐ×[Δｒ (1+ｒ)],所以有:ΔＰ=-(ＭＤ) ｇａｐ×[Δｒ (1+ｒ)]×Ａ。因此,当“久期缺口”为正时,商业银行的股东权益会随着市场利率的提高而减少,随着市场利率的下降而增加。而在“久期 缺口”为负数的时候,商业银行的股东权益会随着市场利率的提高而增加,随着市场利率的下降而减少。只有在“久期缺口”等于零的时候,商业银行的股东权益才 会与市场利率的变动无关(也即实现了完全的“风险免疫”)。 金库理财博客z1Y#O+GV(Y/R
金库理财博客6|BS A1@
这说明,当“久期缺口”为正数的时候,随着市场利率的提高,资产市场价值减少的幅度要大于负债价值减少的幅度;随着市场利率的下降,资产价值 增大的幅度更大于负债价值增大的幅度。当“久期缺口”为负数的时候,随着市场利率的提高,资产市场价值减少的幅度要小于负债价值减少的幅度;随着市场利率 的下降,资产价值增大的幅度要小于负债价值增大的幅度。而当“久期缺口”为零的时候,资产与负债的价值会同升同降,且变动幅度相同。 金库理财博客&Q"x4_E7uz(n
+JX#`:Q1B(TC9T!I0 据此,商业银行可制定“久期缺口”风险管理策略如下:
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(1)如果(ＭＤ)ｇａｐ近乎为零,由于市场利率的波动对净资产价值的影响很小,所以不需要对市场利率的波动过于关注,风险管理的重心应该是维持好(ＭＤ)ｇａｐ近乎为零这种近乎“风险免疫”的状态。
T}7Y*O`,}0 金库理财博客f!w!g @:t!t3k g'J)O
(2)如果(ＭＤ)ｇａｐ大于零,由于市场利率的波动对净资产价值的影响明显,且呈负相关,所以需要关注市场利率的风险,且其重点应该是关注市场利率上升的可能性。 金库理财博客9K ] e0d j m s t
q*\$Q Y7l)cE0 (3)如果(ＭＤ)ｇａｐ小于零,由于市场利率的波动对净资产价值的影响明显,且呈正相关。所以也需要关注市场利率风险,但其重点应该是关注市场利率下降的可能性。
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(4)由于商业银行总资产的价值越大,市场利率的波动对净资产价值的影响越明显,因此,大银行对市场利率的变动应该给予更多的关注。上述策略 都是假定“久期缺口”既定的前提下得出的。其实,商业银行可以采取更为积极的策略,主动地调整“久期缺口”的大小,以实现企业净资产的市场价值至少非负的 目标。 金库理财博客L H:j6r(G)|
金库理财博客*k([ r+RUg&K
例如,假定某商业银行的有关资料如下表所示。其中,贷款的期限为3年,国债的期限为9年,定期存款的期限为1年,大额定期存单的期限为4年。这里不考虑毁约、预付及提前支取等情况,并假定以复利率计息。 金库理财博客Z_3Rk s
W4BH?%m {0 金库理财博客"{~I;S a}
金库理财博客5k Q'J Ep LU
[n1i5Mu(T:@0 金库理财博客 p(y*T-h2e v#V
金库理财博客 G U9pC7i~n
因此,该银行的“久期缺口”为3.05-2.08×(920 1000)=1.14年。
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-El-i E m n0 现在假定市场利率均上升了1%,则总资产的价值将下降27个单位,负债的价值将下降18个单位,从而净资产的价值将下降9个单位。
?U-~;n?'`|k j8M6?!d0
)hu#Nu6N/N @+|0 如果该银行不愿承担这种市场利率上升的风险,则可以通过把总资产的“久期”缩短1.14年或者把负债的“久期”延长3.05× 1000 920-2.08=1.24年的方式将“久期缺口”调整为零。前者可以通过调整资产的结构来实现;后者可以通过例如将定期存款调整为240个单 位,并新发行年利率10%、期限为5年的定期存单280个单位等方式来实现。如果该银行的“久期缺口”为零,则当市场利率上升的时候,尽管资产和负债的价 值会发生相应的变化,但是,净资产的价值将保持80个单位不变。 金库理财博客co#HYS7ESk
-E {#F!S`0 (三)资产的“久期匹配”组合策略。 金库理财博客"X8aQ3d+Z-@2}
l7s't,vEv0 “久期”风险管理策略不仅可以用于资产与负债间的风险管理,而且还可用于资产内部的风险管理。商业银行手中有大量的种类各异的资产。当市场利 率趋于上升的时候,其中的未到期资产面临着贬值的风险。为了规避这种风险,可以构造一个新的资产组合,这个组合与原有的资产具有相同的久期、凸度和现价, 然后通过反向持有这个组合便可以将原有资产的利率风险对冲掉。
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ZL!I:l hm6|0 例如,假定某商业银行拥有一笔账面价值为100万元的贷款,其目前正处于平价状态。它的久期为7.4387,凸度为68.7748。再假定目 前的市场利率为6%。为了规避市场利率上升的风险,该商业银行准备构造一个等价的新资产组合。假定有下列三种债券资产可以选作构造新组合的材料:一年期的 贴现债券,目前价格为94.2596元,久期为0.9709,凸度为1.4139;5年期的平价债券,久期为4. 2651,凸度为21.7665;30 年期的平价债券,久期为13.8378,凸度为296.47。
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A7Ctc `k3l o5a0 为了构造与原有资产“久期匹配”的新资产组合,假定三种债券的需要量分别为Ｘ、Ｙ和Ｚ,则有:
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M8z.A3DY#mr_0 0.9709·94.2596Ｘ+4.2651·100Ｙ+13.8378·100Ｚ=7.4387·100 金库理财博客k }z:a At,p7w
`h@,~"u f D6_D0 1.4139·94.2596Ｘ+21.7665·100Ｙ+296.47·100Ｚ=68.7748·100
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94.2596Ｘ+100Ｙ+100Ｚ=100 金库理财博客W f nJ3u k{
2b#Pj.r-^6f @0 上述三个计算式分别保证了新组合与原有的资产具有相同的久期、凸度和现价。解之得:
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Ｘ=-0.6302;Ｙ=1.4667;Ｚ=0.1271。
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因此,新组合的结构为:买进94.2596×0.6302万元一年期的贴现债券;卖空100×1.4667万元5年期的平价债券;再卖空100×0.1271万元30年期的平价债券。
eu4e NG}4a K0 (一)“久期”(Ｄｕｒａｔｉｏｎ)的含义。 金库理财博客"d%U _M'c2w P G
n i |"^6y6S,Td0 商业银行的营运资金主要来源于它的负债业务,流动性高是商业银行负债业务的突出特征,商业银行所面临的风险主要来源于此。因此,“流动性为 先,流动性、安全性和赢利性兼顾”就成为指导商业银行日常经营决策的基本准则。流动性准则要求商业银行的资产业务与负债业务在风险特性上要尽量地匹配。不 难理解,“保持资产与负债之间持有期间的一致性”应该是实现商业银行资产与负债之间风险闭合的最基本手段。金库理财博客`9U%v8c @U6M7m\ U
}4V9qLZ:|3z&~0 一般说来,商业银行资产(或负债)的持有期间即是通常所谓的资产(或负债)的“剩余到期期限”。 金库理财博客G%a w k-J r$Z2]
2g,b o$jv,B'?neV4D0 但是,“剩余到期期限”这一概念还不足以准确刻画商业银行所拥有的资产和负债的风险特性及其闭合程度。在“剩余到期期限”这一含义的基础上, 至少还应该考虑到资产和负债两者之间在利率水平以及利率的发生频率等方面的差异。同样地,不同的资产间(或不同的负债间)风险水平的对比也要同时考虑到 “剩余到期期限”和“利率水平以及利率的发生频率等”几个层次因素的综合效应。由此,金融工程理论引入了所谓的“久期”(或持续期)概念,并以久期的长短 来刻画资产或负债的风险特性。 金库理财博客"?,J%Z$Oj| T$KU
金库理财博客;zUG W$wV3F
假设某商业银行拥有一笔剩余期限为ｎ期的贷款。该笔贷款在每一期末的利息数量分别为Ｒ1, Ｒ2,…,Ｒｎ。则“久期”(Ｄ)的计算公式可以写为:Ｄ=[∑ｔ·Ｒｔ] ∑Ｒｔ。显然,“久期”这一概念的涵义大约相当于资产(或负债)的加权平均剩余持有期限。
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例如,一种本金为100元、年利率为5%的10年期贷款,其“久期”为8.5年;而其它条件相同,只是年利率为10%的贷款,其“久期”则为7.75年。由于年利率为10%的贷款拥有较短的“久期”,所以它的风险较低。从资产的流动性考虑,这一结论是符合逻辑的。 金库理财博客"Q5]:}3PL u
金库理财博客Uy6u.m@nR4y_,L
从负债的流动性考虑,这一结论也是合乎情理的。商业银行资产与负债的久期应当尽量地保持一致,这句话包含两层意思:首先,资产与负债的到期期限应该尽量地一致;其次,资产和负债每期发生的现金流量也应该尽量地相同。 金库理财博客 v"G.r)n0g M
i4ta t} ` d-{9d^0 不过,上述“久期”的定义并没有充分地考虑资金的时间价值这一层因素对资产负债风险大小的影响。一个前期利息较低、后期利息较高的10年期贷 款与一个前期利息较高、后期利息较低的10年期贷款相比较,它们的风险大小显然是不相同的。为此, Ｍａｃａｕｌａｙ(1938)提出了一个能够充分地考 虑到资金时间价值因素的“久期”(ＭＤ)概念:ＭＤ=[∑ｔ(ＰＶ)ｔＲｔ] ∑(ＰＶ)ｔＲｔ。其中,(ＰＶ)ｔ为该资产或负债第ｔ期现金流量的折现因 子。
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.l6ab&WC'P6b b2r0 如果令Ｐ=∑(ＰＶ)ｔＲｔ;然后将Ｐ关于市场利率(ｒ)的一次导数记为Ｐ′,则有:-Ｐ′ Ｐ=ＭＤ (1+ｒ)。
H(i$h,{ us0
S{%_[z&g9P(l5{6c#p0 该式反映了单位市场利率的变化对资产(或负债)价值的影响。一般把Ｄ =ＤＭ (1+ｒ)称为“修正的久期”。不难看出,修正的久期越长,既定市场利率的变动对资产或负债市场价值的影响越大。 金库理财博客#y;|EPd;`
金库理财博客%b a;c UY/[~ y
(二)与“久期”有关的几个重要的结论。
BA5\m]t p0 金库理财博客:D L"y*c;~;]w-?b \4?
(1)如果假定折现率(ｒ)为零,则Ｄ=ＭＤ。所以,可以将Ｄ理解为ＭＤ的特例。
;_,s c P"x/oGl [0
G{ N"@si t ]0 (2)对ＭＤ关于折现率(ｒ)求导,有:ｄ(ＭＤ) ｄｒ=-σ2 (1+ｒ)<0。其中σ为以ＭＤ为期望值,以ＭＤ的权重为分布的ｔ的方差。所以,“久期”ＭＤ为折现率(ｒ)的减函数。随着市场利率的提高,“久期”ＭＤ将趋于下降。
/T O Oa8_0
;k w#xby$|9r;X@U([.I0 (3)由于ＭＤ=-(Ｐ′ Ｐ)(1+ｒ)=-(ｄＰ Ｐ) [ｄ(1+ｒ) (1+ｒ)],所以ＭＤ还可以理解为资产(或负债)的价值变动关于市场利率的弹性。
@+v J7y3j.g H0 金库理财博客N9JN%|*k}:BW C
(4)那些只在到期日才会发生现金流的资产(或负债),例如贴现债券或在到期日一次性付款的存款贷款等,其ＭＤ等于通常的“剩余到期期限”。因此,一般说来,ＭＤ的大小与“剩余到期期限”正相关。
8JO E#J N%c&hq/Y0 金库理财博客7|:Y wR4ru
不过,附息债券的“久期”(ＭＤ)要小于通常的“剩余到期期限”。由于永久债券的“久期”(ＭＤ)等于1+1 ｒ,所以,(1+1 ｒ)为附息债券“久期”(ＭＤ)的最大极限值。
Zre[)l$J/@0 金库理财博客5mL6_R'P LWz:IP
(5)资产(或负债)的票面利率越高,其相应的“久期”越短。而且,市场利率越高,其相应的“久期”也越短。 金库理财博客6W.J t KT} S
金库理财博客(S2yl$Fy*Li(fu
(6)由于ｄ(Ｐ) Ｐ=-Ｄ ｄ(ｒ),所以有Ｖａｒ(ｄＰ Ｐ)=(Ｄ )Ｖａｒ(ｄｒ)。因此,资产(或负债)价值变化率的波动性是市场利率波动性的Ｄ 倍。 金库理财博客$Oi }t*S"{
yU%e w$u'D w,N0 (7)“久期”具有可加性。如果把银行的资产(或负债)看作一个整体,则银行总资产(或负债)的“久期”等于该银行各项资产(或负债)的“久期”的加权和。其中的权重即该项资产(或负债)占总资产(或负债)价值的比例。
s @7A;u5@ nq_T;b0
/Sg,G W {\ U+U4sm0 需要指出的是,上述结论的得出需要一个隐含的假设:市场利率的变动与资产(或负债)的现金流量变动无关。因此上结论只适合于固定利率以及不包含隐性期权的资产(或负债)的“久期”。
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fwoS [ W+C E:n0 二、久期风险管理策略在商业银行资产负债风险管理中的应用 金库理财博客%]G4o;`YK^F%S*_J5Z
"^ XE:NW*`c0 (一)“风险免疫”管理策略。
8q!}%WVs)y!`0 金库理财博客 Wu4q }(Y6S6VK C
由于“资金的来源”恒等于“资金的使用”,所以商业银行的“负债加账面净值的和”必定等于商业银行“资产的账面价值”。如果商业银行来源于资 产的现金流入先于偿还负债的现金支出发生,或者商业银行资产的剩余到期期限短于负债的剩余到期期限,则商业银行便面临再投资利率下降的市场风险;反之,如 果商业银行偿还债务的现金支出先于资产的现金流入发生,或者商业银行资产的剩余到期期限长于负债的剩余到期期限,则该商业银行又面临再融资利率上升的市场 风险。这样一来,商业银行的“资产市值”就不一定恒等于它的“负债市值加账面净值的和”。商业银行股东权益的实际市场价值(较账面价值)便会发生非预期性 的变动,而这也正是商业银行所有风险的最终归结点。
*r'dGD#e.m&A%ou:f+d0 金库理财博客 w%`1B1bl)h:W*lM
如果令Ｒｔ为某商业银行第ｔ期的资产收入现金流量减负债支出现金流量的差额,则仅当每期Ｒｔ的净现值和(Ｐ)≥0的时候,该商业银行的风险才 会完全闭合,我们将商业银行的这种状态称为“风险免疫”状态。而在“风险免疫”状态下,当该商业银行达到均衡的时候,必定有Ｐ=0。 金库理财博客)Q/D)J] d a1So9v+J4z
金库理财博客.TUN0c(`OL$X.f
现在假定市场利率发生了微小的变化,即由ｒ变动到ｒ+μ。然后将Ｐ(ｒ)Ｔａｙｌｏｒ展开有: 金库理财博客[5gW'b xK?Y+W
金库理财博客{5n5p8O HT`
Ｐ(ｒ+μ)=Ｐ(ｒ)+μＰ′+[μ 2]Ｐ″(ｒ+μ) 其中,0<||<1。 金库理财博客#I | T,T W%NRYj
7q:K*o'b a*T zEt0 因此,如果Ｐ′=0,且Ｐ″>0,则在Ｐ(ｒ)处会有一个局部的最小值。在这局部的最小值处,市场利率沿任何方向的微小变化都会改善商业银行的处境。如果在这一局部的最小值处商业银行处于均衡的状态,则必定有Ｐ=0。
0w!n7o*Q/h8C'Q4m0
or7_+xv'x0 令Ａ为商业银行总资产的市场价值,Ｌ为该商业银行总负债的市场价值,则Ｐ=Ａ-Ｌ应为该商业银行净资产的市场价值。Ｐ′=-Ａ×Ｄ ａ+ ＬＤ 1。其中,Ｄ ａ为该商业银行总资产的“修正久期”;Ｄ 1为该商业银业总负债的“修正久期”。如果总资产的市场价值等于总负债的市场价值,则在Ｐ ′=0处,总资产的“修正久期”必定等于总负债的“修正久期”。 金库理财博客 h,\^)v)XPw
金库理财博客w,I'y4GW2a
由Ｐ″>0可以引申出(ｄＡ ｄｒ) Ａ>(ｄＬ ｄｒ) Ｌ的形式。上式的左侧项称为资产Ａ的“凸度”;右侧项称为负债Ｌ的 “凸度”。而净资产的“凸度”为(Ｐ″ Ｐ)。资产的凸度大于负债的凸度是商业银行实现风险免疫的条件之一。因此,资产结构的管理应该是商业银行“风险免 疫”策略的核心。 金库理财博客o(l4B] ] `8d|o;C
金库理财博客1p"YtKI5~-z!b
(1)资产所适用的市场利率应该与负债所适用的市场利率相同。 金库理财博客b J:^7~8A B4` i'J uZ
金库理财博客 j:P@vlGb&r%k;m@
(2)确保与资产有关的现金流入量现值和至少等于与负债有关的现金流出现值和。只有这样,由资产所带来的现金流入才有可能完全应付偿还债务的资金需要。
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F2O Nu0R0 (3)资产的“修正久期”应该等于负债的“修正久期”,即资产和负债的现金流加权平均到达的时间要相同。只有这样,资产价值对市场利率的敏感性与负债价值对市场利率的敏感性才会完全相同。
#~)I;k%X\;g5lr+a;c0 金库理财博客G C5B x)W0mDT5Rw
(4)资产的“凸度”应该大于负债的“凸度”。如果满足了这个条件,则当市场利率上升了的时候,资产价值的变动量会小于负债价值的变动量。而当市场利率下降了的时候,资产价值的变动量会大于负债价值的变动量。
)W ~@.^ xO` kO"J9V0 金库理财博客*['i%{#A@ s;Z
例如,假定某银行发生了一笔1000万元的存款负债,为此预计一年后会发生1100万元的现金支付。该银行可以有针对性地构建一个资产组合来 闭合这笔负债中所包含的风险。假定有两种资产可供该商业银行选择:一项是某种随时到期的浮动利率资产;另一项为复利率10%、到期一次还本付息的两年期贷 款。再假定市场利率为10%,则可这样构建具有“风险免疫”特征的资产组合: 金库理财博客4j:@2A kw E(BH
金库理财博客 Zsi(yv2ab
令投资于浮动利率资产的金额为Ｘ万元;投资于两年期贷款的金额为Ｙ万元。因此,该资产组合与存款负债之间的净现值为:Ｐ=Ｘ+1.21Ｙ (1+ｒ)2-1100 (1+ｒ)。进而有: 金库理财博客"}b5n Z*O9y
%V*] IwG@$p9^%W9{&F0 Ｘ+Ｙ-1000=0
!hwrx9J6d Y f0 金库理财博客X n"G/v Y:Lz H
Ｐ′=-2Ｙ 1.1+1000 1.1=0 金库理财博客 ^7H%J8X'X$}
[YI r R`i,A+M0 解之可得:Ｘ=500万元;Ｙ=500万元。且可验证该组合的凸度要大于存款负债的凸度。因此,在这两种资产投资500万元的条件下,如果市 场利率保持10%不变,则该商业银行一年以后1100万元负债不能偿还的风险恰好可以避免(Ｐ=0)。而如果市场利率在10%的基础上发生变动,该商业银 行的处境则会更好一些。
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这个例子假定负债的本息按期提取。不过,商业银行的负债大多具有随时支付的条款。如果考虑到这层因素,则会大大增加“风险免疫”管理策略的难度。我们这里考虑一个较为简单的情景:
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假定某商业银行有一笔利率为8%的两年期存款。根据经验,该储户可能在每年底分别提取一部分款项。
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cDMnb8` ]b_0 假定每元存款在每年末的提出金额分别为Ｘ1和Ｘ2。则有:Ｘ1 (1.08)+Ｘ2 (1.08)2=1。假定该商业银行只能将该笔存款投资 于利率为8%的一年期贷款和利率为8.5%的两年期贷款。令其投资比例分别为Ｙ1和Ｙ2(Ｙ1+Ｙ2=1)。再假定第二年的再投资利率为ｆ。则有: 金库理财博客7[(_ HM x
金库理财博客 AQ0n L2W*X T
[Ｙ1(1.08)-Ｘ1](1+ｆ)+[Ｙ2(1.085)2-Ｘ2] =[(1.08)(1+ｆ)-(1.085)2]Ｙ1+Ｘ1(0.08-ｆ)+(1.085)2-(1.08)2
!Eo)Qj+t7O0Y `0 金库理财博客 B9i6R/jo
为了避免不能偿还债务的风险,上式必须确保大于或等于零。因此,在商业银行能够较为准确地估计出远期利率ｆ和客户的提款率Ｘ1的条件下,便可根据上式计算出恰当的投资组合比例Ｙ1来。 金库理财博客!`K| A U#TG+E
金库理财博客9v2d*z8L:T
显然,“风险免疫”管理策略应该是一种动态的资产负债比例管理方法。因为,且不说市场利率的变化会导致“久期”的变动。即使市场利率保持不 变,随着“到期日”的临近,资产(或负债)的“久期”也会趋于缩短。因此,商业银行需要随时调整资产的构成以保持资产和负债之间“风险免疫”的状态。 金库理财博客 [S3f2j5{$a T LF
金库理财博客1h4r-r]!`'J
(二)“久期缺口”风险管理策略。
p"X!ie k9~0
"x f#@ W1J!A-i H YzS0 作为企业,在流动性和安全性的基础上,净资产的保值增值(即收益性)当然也是商业银行经营所追求的一个基本目标。由于资产、负债和净资产之间的线性关系,净资产也同样面临着市场利率变动的风险。 金库理财博客 @q$Li/|3@
金库理财博客V%S5ow t KA r Z
令(ＭＤ)Ａ、(ＭＤ)1和(ＭＤ)ｐ分别为总资产、总负债和净资产的“久期”。根据久期的可加性,有:(ＭＤ)Ａ=Ｗ1(ＭＤ)1+(1-Ｗ1)(ＭＤ)ｐ,其中,Ｗ1=ＬＡ。进而有:(ＭＤ)ｐ=[(ＭＤ)Ａ-Ｗ1(ＭＤ)1] (1-Ｗ)1。 金库理财博客/@9m#P0h'K'}.EO
金库理财博客Y)F(C"B^Gn5Y.s
“久期缺口”[(ＭＤ)ｇａｐ]的定义为:(ＭＤ)ｇａｐ=(ＭＤ)Ａ-Ｗ1(ＭＤ)1,因此有(ＭＤ)ｇａｐ=(1-Ｗ1)(ＭＤ)ｐ,进而有:(ＭＤ)ｐ=[Ａ Ｐ]×(ＭＤ)ｇａｐ。
S S L?8q~)I2g+W-r0
3h I f#SwF C h0 不难得出:ΔＰ Ｐ=-(ＭＤ)ｐ×[Δｒ (1+ｒ)]=-[Ａ Ｐ]×(ＭＤ)ｇａｐ×[Δｒ (1+ｒ)],所以有:ΔＰ=-(ＭＤ) ｇａｐ×[Δｒ (1+ｒ)]×Ａ。因此,当“久期缺口”为正时,商业银行的股东权益会随着市场利率的提高而减少,随着市场利率的下降而增加。而在“久期 缺口”为负数的时候,商业银行的股东权益会随着市场利率的提高而增加,随着市场利率的下降而减少。只有在“久期缺口”等于零的时候,商业银行的股东权益才 会与市场利率的变动无关(也即实现了完全的“风险免疫”)。 金库理财博客z1Y#O+GV(Y/R
金库理财博客6|BS A1@
这说明,当“久期缺口”为正数的时候,随着市场利率的提高,资产市场价值减少的幅度要大于负债价值减少的幅度;随着市场利率的下降,资产价值 增大的幅度更大于负债价值增大的幅度。当“久期缺口”为负数的时候,随着市场利率的提高,资产市场价值减少的幅度要小于负债价值减少的幅度;随着市场利率 的下降,资产价值增大的幅度要小于负债价值增大的幅度。而当“久期缺口”为零的时候,资产与负债的价值会同升同降,且变动幅度相同。 金库理财博客&Q"x4_E7uz(n
+JX#`:Q1B(TC9T!I0 据此,商业银行可制定“久期缺口”风险管理策略如下:
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(1)如果(ＭＤ)ｇａｐ近乎为零,由于市场利率的波动对净资产价值的影响很小,所以不需要对市场利率的波动过于关注,风险管理的重心应该是维持好(ＭＤ)ｇａｐ近乎为零这种近乎“风险免疫”的状态。
T}7Y*O`,}0 金库理财博客f!w!g @:t!t3k g'J)O
(2)如果(ＭＤ)ｇａｐ大于零,由于市场利率的波动对净资产价值的影响明显,且呈负相关,所以需要关注市场利率的风险,且其重点应该是关注市场利率上升的可能性。 金库理财博客9K ] e0d j m s t
q*\$Q Y7l)cE0 (3)如果(ＭＤ)ｇａｐ小于零,由于市场利率的波动对净资产价值的影响明显,且呈正相关。所以也需要关注市场利率风险,但其重点应该是关注市场利率下降的可能性。
8S_5E w3o,u'K6~ uc e Q0 金库理财博客o7_ N,Oh)pL \
(4)由于商业银行总资产的价值越大,市场利率的波动对净资产价值的影响越明显,因此,大银行对市场利率的变动应该给予更多的关注。上述策略 都是假定“久期缺口”既定的前提下得出的。其实,商业银行可以采取更为积极的策略,主动地调整“久期缺口”的大小,以实现企业净资产的市场价值至少非负的 目标。 金库理财博客L H:j6r(G)|
金库理财博客*k([ r+RUg&K
例如,假定某商业银行的有关资料如下表所示。其中,贷款的期限为3年,国债的期限为9年,定期存款的期限为1年,大额定期存单的期限为4年。这里不考虑毁约、预付及提前支取等情况,并假定以复利率计息。 金库理财博客Z_3Rk s
W4BH?%m {0 金库理财博客"{~I;S a}
金库理财博客5k Q'J Ep LU
|
资产 |
市场价值 |
利率(%) |
久期 |
负债与净值 |
市场价值 |
利率(%) |
久期 |
|
现金 |
100 |
金库理财博客^B8J7f Q } |
|
定期存款 |
520 |
9 |
1 |
|
贷款 |
700 |
14 |
2.56 |
大额定期存单 |
400 |
10 |
3.49 |
|
国债 |
200 |
12 |
5.97 |
负债总额 |
920 |
|
2.08 |
|
|
|
|
|
股本 |
80 |
|
|
|
资产总计 |
1000 |
|
3.05 |
总计 |
1000 |
|
|
[n1i5Mu(T:@0 金库理财博客 p(y*T-h2e v#V
金库理财博客 G U9pC7i~n
因此,该银行的“久期缺口”为3.05-2.08×(920 1000)=1.14年。
L0o rS.d*zt0
-El-i E m n0 现在假定市场利率均上升了1%,则总资产的价值将下降27个单位,负债的价值将下降18个单位,从而净资产的价值将下降9个单位。
?U-~;n?'`|k j8M6?!d0
)hu#Nu6N/N @+|0 如果该银行不愿承担这种市场利率上升的风险,则可以通过把总资产的“久期”缩短1.14年或者把负债的“久期”延长3.05× 1000 920-2.08=1.24年的方式将“久期缺口”调整为零。前者可以通过调整资产的结构来实现;后者可以通过例如将定期存款调整为240个单 位,并新发行年利率10%、期限为5年的定期存单280个单位等方式来实现。如果该银行的“久期缺口”为零,则当市场利率上升的时候,尽管资产和负债的价 值会发生相应的变化,但是,净资产的价值将保持80个单位不变。 金库理财博客co#HYS7ESk
-E {#F!S`0 (三)资产的“久期匹配”组合策略。 金库理财博客"X8aQ3d+Z-@2}
l7s't,vEv0 “久期”风险管理策略不仅可以用于资产与负债间的风险管理,而且还可用于资产内部的风险管理。商业银行手中有大量的种类各异的资产。当市场利 率趋于上升的时候,其中的未到期资产面临着贬值的风险。为了规避这种风险,可以构造一个新的资产组合,这个组合与原有的资产具有相同的久期、凸度和现价, 然后通过反向持有这个组合便可以将原有资产的利率风险对冲掉。
9M A*S(q4SR-VG0
ZL!I:l hm6|0 例如,假定某商业银行拥有一笔账面价值为100万元的贷款,其目前正处于平价状态。它的久期为7.4387,凸度为68.7748。再假定目 前的市场利率为6%。为了规避市场利率上升的风险,该商业银行准备构造一个等价的新资产组合。假定有下列三种债券资产可以选作构造新组合的材料:一年期的 贴现债券,目前价格为94.2596元,久期为0.9709,凸度为1.4139;5年期的平价债券,久期为4. 2651,凸度为21.7665;30 年期的平价债券,久期为13.8378,凸度为296.47。
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A7Ctc `k3l o5a0 为了构造与原有资产“久期匹配”的新资产组合,假定三种债券的需要量分别为Ｘ、Ｙ和Ｚ,则有:
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M8z.A3DY#mr_0 0.9709·94.2596Ｘ+4.2651·100Ｙ+13.8378·100Ｚ=7.4387·100 金库理财博客k }z:a At,p7w
`h@,~"u f D6_D0 1.4139·94.2596Ｘ+21.7665·100Ｙ+296.47·100Ｚ=68.7748·100
:j fDT;ep B0 金库理财博客 @%Gd,ru
94.2596Ｘ+100Ｙ+100Ｚ=100 金库理财博客W f nJ3u k{
2b#Pj.r-^6f @0 上述三个计算式分别保证了新组合与原有的资产具有相同的久期、凸度和现价。解之得:
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Ｘ=-0.6302;Ｙ=1.4667;Ｚ=0.1271。
t:A%eY4g{O0 金库理财博客M1co;J jp9j
因此,新组合的结构为:买进94.2596×0.6302万元一年期的贴现债券;卖空100×1.4667万元5年期的平价债券;再卖空100×0.1271万元30年期的平价债券。
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